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Soit un point mobile
définissant la carte, une << masse >>
et
le point frontière (cf.
figure 2.1). On peut alors représenter la situation en dimension 1 (cf. figure 2.2).
Le paramètre
est le rapport des distances
et
.
La nouvelle position du point
sera
donnée par
où
,
la loi de déplacement, dépend de la donnée placée en
.
FIGURE 2.2:
Déplacement d'un point
|
La première idée est de créer une fonction dont la dérivée seconde en zéro est proportionnelle à la
masse et qui se rapproche de la première bissectrice lorsque le paramètre
tend vers
,
c'est-à-dire qui n'agit plus à grande distance. Il faut aussi ajouter les conditions
et
afin que la frontière soit fixe et que la carte garde son aspect général. Mettons cela en
uvre en notant
la << masse >> du point
considéré.
Soit
la fonction de classe
définie sur
par :
Il vient alors par une double intégration évidente, tout en s'assurant de la continuité de
et
mais aussi que f respecte les conditions
et
:
On obtient alors une famille de fonctions qui semblent convenir (cf. figure 2.3) car elles
satisfont aux conditions qu'on leur avait imposées et qu'elles ont la forme à laquelle on pouvait
s'attendre. Cependant, après quelques tests sur des cas simples, on s'aperçoit que ces fonctions ne
poussent pas suffisamment à proximité des masses. Elles donnent néanmoins certains résultats
satisfaisants dans des situations simples.
FIGURE 2.3:
Première famille de lois de déplacement
|
Pour améliorer le résultat précédent, il faut changer de point de vue sur cette fonction : plutôt
que d'imposer des conditions sur la dérivée seconde, imposons les sur la dérivée en cherchant une
fonction ayant une tangente verticale à l'origine et dont la dérivée vaut
en
.
Soit
la
fonction définie ainsi, en notant toujours
la << masse >> du point
:
On peut alors vérifier que cette fonction a les propriétés voulues :
On obtient donc une famille de courbe présentée sur la figure 2.4. Cette fonction est certes
un peu plus lourde que la précédente -- à cause de l'exponentiation -- mais elle donne de
meilleurs résultats sur les quelques tests réalisés et présentés plus loin.
FIGURE 2.4:
Seconde famille de lois de déplacement
|
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1999-10-28