Définition de la loi de déplacement

Description d'un déplacement

Soit un point mobile $A$ définissant la carte, une « masse » $M$ et $F$ le point frontière (cf. figure 2.1). On peut alors représenter la situation en dimension 1 (cf. figure 2.2). Le paramètre $r$ est le rapport des distances $MA$ et $MF$. La nouvelle position du point $A$ sera donnée par $r'=f(r)$ où $f$, la loi de déplacement, dépend de la donnée placée en $M$.

FIGURE 2.2: Déplacement d'un point $A$

Recherche de la loi

La première idée est de créer une fonction dont la dérivée seconde en zéro est proportionnelle à la masse et qui se rapproche de la première bissectrice lorsque le paramètre $r$ tend vers $1$, c'est-à-dire qui n'agit plus à grande distance. Il faut aussi ajouter les conditions $f(0)=0$ et $f(1)=1$ afin que la frontière soit fixe et que la carte garde son aspect général. Mettons cela en uvre en notant $m$ la « masse » du point $M$ considéré.

Soit $f$ la fonction de classe $\mathcal{C}^1$ définie sur $[0;1]$ par :

$$f''(t)=\left\lbrace\begin{array}{l@{\quad\textrm{si }}l} -2m & t \le 0,\!5\,;\\ 2 & t > 0,\!5. \end{array} \right.$$

Il vient alors par une double intégration évidente, tout en s'assurant de la continuité de $f'$ et $f$ mais aussi que f respecte les conditions $f(0)=0$ et $f(1)=1$ :

$$f(t)=\left\lbrace\begin{array}{l@{\quad\textrm{si }}l} \fra... ...\\ 1 + \frac{4t(1-t)}{m+1} & t > 0,\!5. \end{array} \right.$$

On obtient alors une famille de fonctions qui semblent convenir (cf. figure 2.3) car elles satisfont aux conditions qu'on leur avait imposées et qu'elles ont la forme à laquelle on pouvait s'attendre. Cependant, après quelques tests sur des cas simples, on s'aperçoit que ces fonctions ne poussent pas suffisamment à proximité des masses. Elles donnent néanmoins certains résultats satisfaisants dans des situations simples.

FIGURE 2.3: Première famille de lois de déplacement

Pour améliorer le résultat précédent, il faut changer de point de vue sur cette fonction : plutôt que d'imposer des conditions sur la dérivée seconde, imposons les sur la dérivée en cherchant une fonction ayant une tangente verticale à l'origine et dont la dérivée vaut $1$ en $1$. Soit $f$ la fonction définie ainsi, en notant toujours $m$ la « masse » du point $M$ :

$$f(t)=(1-t)t^\frac{1}{\sqrt{m}}+t^2$$

On peut alors vérifier que cette fonction a les propriétés voulues :

$$\begin{eqnarray*} f'(x) &\mathop{\sim}\limits_{t\to0}& \frac{1}{\sqrt{m}}t^{\fra... ...y \\ f'(x) &\mathop{\sim}\limits_{t\to1}& t^2 \longrightarrow 1 \end{eqnarray*}$$

On obtient donc une famille de courbe présentée sur la figure 2.4. Cette fonction est certes un peu plus lourde que la précédente -- à cause de l'exponentiation -- mais elle donne de meilleurs résultats sur les quelques tests réalisés et présentés plus loin.

FIGURE 2.4: Seconde famille de lois de déplacement